进制转换

日常生活中我们使用十进制（0-9），但在计算机领域中，二进制（0-1）、八进制（0-7）和十六进制（0-9, A-F）更为常见。进制转换的核心是通过数学运算在不同基数（Base）之间转换数的表示形式。理解这一原理不仅是计算机科学的基础，也是编程、网络通信甚至密码学的必备技能。

为什么学习进制转换？

考试需求
信息学竞赛（如CSP、NOI）中频繁出现进制转换题目。例如，2024年山东CSP-J第一轮测试中便有一道关于二进制与十六进制转换的单选题。
计算机原理基础
计算机硬件基于二进制逻辑运行，而八进制、十六进制常用于简化二进制的表示（如内存地址、机器指令）。
编程实践
编程中常需处理不同进制的数据（如Python的bin()、hex()函数，C/C++的格式化输出）。
实际应用场景
- 计算机系统：二进制用于硬件设计，十六进制简化调试（如内存地址显示为0x1A3F）。
- 网络与编码：IPv6地址使用十六进制（如2001:0db8::ff00），ASCII码用十进制或十六进制表示字符。
- 密码学：大数运算（如RSA密钥）常以十六进制存储。
装逼

进制转换的核心原理

一、进制的基本概念

基数（Base）：进制使用的符号数量。
- 十进制（Base 10）：0-9
- 二进制（Base 2）：0-1
- 十六进制（Base 16）：0-9 + A-F（A=10, B=11, …, F=15）
权值（Positional Value）
每一位数字的值由其位置决定，计算公式为：

例如，十进制数123可分解为：

二、进制转换方法

1. 其他进制 → 十进制（按权展开求和）

将每一位数字乘以基数的幂次后相加。
示例：二进制1011转十进制

2. 十进制 → 其他进制

整数部分：除基取余法
将十进制数反复除以目标进制基数，逆序排列余数。
示例：十进制11转二进制

  11 = 5 × 2 + 1   (余1)
  5 = 2 × 2 + 1    (余1)
  2 = 1 × 2 + 0    (余0)
  1 = 0 × 2 + 1    (余1)
  ```  
  逆序余数得`1011`。

- **小数部分：乘基取整法**  
  将小数部分反复乘以目标进制基数，顺序记录整数部分。  
  **示例**：十进制`0.625`转二进制

0.625 × 2 = 1.25 → 取整1，剩余0.25
0.25 × 2 = 0.5 → 取整0，剩余0.5
0.5 × 2 = 1.0 → 取整1，剩余0

顺序排列得`0.101`。

3. 二进制 ↔ 八进制/十六进制

二进制 → 八进制
每3位二进制为一组（从右向左，不足补零），直接转换。
示例：101101 → 101 101 → 5 5 → 55_{(8)}。
二进制 → 十六进制
每4位二进制为一组（从右向左，不足补零）。
示例：1101101 → 0110 1101 → 6 D → 6D_{(16)}。
反向转换
将每位八进制/十六进制数展开为3/4位二进制。
示例：十六进制A3 → 1010 0011 → 10100011。

三、通用转换公式

所有进制转换均可通过以下公式实现：

( B )：目标进制基数
( d_k )：第( k )位的数字
( n, m )：整数和小数部分的位数

总结与技巧

快速转换口诀
- 二进制转十六进制：4位一组，查表转换。
- 十进制转二进制：除2取余，逆序排列。
编程实现
大多数编程语言提供内置函数（如Python的int("1011", 2)可直接将二进制转为十进制）。
避免错误
- 补零对齐：分组转换时注意位数不足需补零（如二进制101转八进制需补零为101 → 5）。
- 小数精度：十进制小数转其他进制时可能无限循环（如0.1转二进制为无限循环0.000110011...）。